ГДЗ по математике Виленкин. Задача 187. Решение

Задача:

Каждую из дробей  и , где  и  — натуральные числа, можно представить в виде десятичной. Могут ли а и 5, b и 6 быть взаимно простыми? Могут ли два одинаковых числа быть взаимно простыми?

Решение:

Чтобы ответить на первый вопрос нужно привести пример когда числа  и 5 взаимно простые. Возьмем , получим дробь  равную 0,6. Здесь числа 3 и 5 – простые числа, а значит они взаимно простые и друг к другу.

По аналогии с числами  и 6. Число 6 здесь составное и выражается через простые множители как

.

Тогда взаимно простыми для него будут числа 1, 5, 7, 11 и т.д. То есть число  можно взять одним из этих чисел. Но при этом дроби

нельзя выразить в виде десятичных, т.к. при делении таких числе на 6 после запятой получается бесконечное число цифр. Поэтому числа  и 6 не могут быть взаимно простыми и при этом образовывать десятичные дроби.

Последний вопрос: могут ли два одинаковых числа быть взаимно простыми? Ответ, нет не могут, т.к. у взаимно простых чисел наибольший общий делитель (НОД) должен быть равен 1, а у одинаковых чисел (за исключением 1) НОД будет равен самим этим числам. Например, числа 3 и 3. Их НОД будет равен 3 и так для любых одинаковых чисел.

Ответ: а и 5 могут; b и 6 не могут; нет не могут быть.

Видео урока